Przemysłowe regulatory przewidują przyszłość

Zasada superpozycji pozwala regulatorom przewidzieć, jak parametr o charakterystyce liniowej zareaguje na określony sygnał korygujący. Tak właśnie działają sterowniki stosujące technikę regulacji kaskadowej z wyprzedzeniem.  

W obwodzie regulacji kaskadowej z wyprzedzeniem sterownik może wymuszać zbliżanie się regulowanej wielkości do wartości zadanej tylko wtedy, gdy w jakikolwiek sposób będzie mógł przewidzieć przyszłe efekty podejmowanych w tej chwili działań korygujących. Regulator mający model obiektu zrealizuje takie działanie, opierając się na matematycznych zależnościach opisujących zachowanie się tego obiektu. Z kolei w poprawnie nastrojonym obwodzie regulacyjnym z algorytmem PID używa się domniemanego modelu obiektu, reprezentowanego w sterowniku przez wartości nastaw jego parametrów działania: P – proporcjonalnego, I – całkującego oraz D – wyprzedzającego (różniczkującego).  
W obu wymienionych metodach regulacji w różny sposób oblicza się impulsy korygujące. Jednakże obie metody odnoszą się do liniowej charakterystyki zachowania się regulowanego parametru. Starają się przewidzieć, jaka będzie z jego strony odpowiedź (czyli zmiana swojej wartości – odczytana z sygnału wyjściowego odpowiedniego przetwornika pomiarowego) na ustaloną inicjatywę regulatora. O liniowym (czyli wprost proporcjonalnym) charakterze mówimy wtedy, gdy regulowany parametr procesu technologicznego rośnie o stałą wartość po każdym, jednakowej wartości impulsie, wysłanym z regulatora. Tym impulsem jest zmiana wartości zadanej o wybraną jednostkę (np. stopień). Jeżeli sterownik wyśle dwa takie impulsy dodane do siebie, wielkość regulowana o liniowej charakterystyce zawsze odpowie sumą dwóch pojedynczych odpowiedzi. Takich, jakie miałyby miejsce w przypadku reakcji na oddzielne pojedyncze impulsy regulatora.

Superpozycja  

Opisane powyżej nakładanie się na siebie pojedynczych odpowiedzi obiektu regulacji nosi nazwę superpozycji i opisuje zachowania wszystkich obiektów liniowych. Stąd w opisach takiego sposobu odpowiedzi regulowanego obiektu często używa się terminu „zasada superpozycji”. Ta zasada jest zilustrowana na wykresach dla czterech przypadków impulsów korygujących oraz odpowiadających im odpowiedzi regulowanej wielkości. Przedstawiają one odpowiedzi tego samego liniowego obiektu na krótkie impulsy, wysyłane z komputerowego regulatora o czasie trwania ?t [s].
Przypadek A dotyczy pojedynczego impulsu korygującego o wartości jednej jednostki w czasie jednego cyklu trwającego ?t sekund. Wywołana w ten sposób zmiana wartości regulowanej zmiennej znana jest jako odpowiedź obiektu na skokowe jednostkowe zakłócenie. W tym przypadku o charakterze chwilowego impulsu. W obserwowanym przypadku (A) odpowiedź obiektu wykazuje pewną bezwładność. Zarówno wzrost wartości, jak też jej zmniejszanie ma charakter powolny i opóźniony w stosunku do impulsu sterownika. Jest to typowa odpowiedź wielu regulowanych parametrów.
Przypadek B obrazuje, w jaki sposób zareaguje regulowany obiekt na silniejszy impuls sterownika. Na wykresie widać wyraźnie, że odpowiedź ma ten sam charakter. Zmiana wartości parametru regulowanego jest trzykrotnie większa, jako odpowiedź na impuls korygujący o wysokości trzech jednostek.
Kolejna para wykresów (przypadek C) dotyczy akcji regulatora wysyłającego dwa impulsy korygujące, opisane w przypadkach A i B, lecz wygenerowane w pewnym odstępie czasu. Na wykresie ukazującym zachowanie się wielkości regulowanej widać wyraźnie kształt znany z przypadku A, a następnie – po upływie czasu między impulsami korygującymi – odpowiedź obiektu (wykres zmian wielkości regulowanej) z przypadku B nałożoną (dodaną geometrycznie punkt po punkcie) na pierwszy wykres (A). Mamy więc do czynienia z geometryczną ilustracją zjawiska superpozycji.
O ile przypadki A, B i C mają charakter „szkolny” – służący wyjaśnieniu omawianego zagadnienia – to przypadek D ilustruje zachowanie się obiektu regulacji w odpowiedzi na ciąg nieustannie generowanych jednostkowych impulsów korygujących. W pierwszej sekwencji jest ich sześć, każdy o wartości „u” i czasie trwania ?t, a następnie dalsze, o innej wartości. Jest to przypadek o charakterze ogólnym, najbardziej podobny do rzeczywistych przebiegów regulowanego procesu technologicznego. Tutaj w zmianie wartości obiektu regulacji zaznacza się efekt dodawania do siebie kolejnych „odpowiedzi jednostkowych”. Każdy nowy impuls wysłany z regulatora powoduje, że do zmian wywołanych poprzednim (wcześniejszym o ?t) impulsem, zostaje dodana nowa zmiana. W ten sposób wielkość zmiany parametru regulowanego w chwili n·?t rośnie do wielkości sumy wszystkich zmian wartości regulowanego parametru – spowodowane wcześniejszymi, korygującymi impulsami wysyłanymi przez regulator.

Zmiana wartości odpowiedzi

Korzystając z zasady superpozycji sterownik może przewidzieć i obliczyć, jaka zmiana wartości regulowanego parametru (liniowego obiektu regulacji) wystąpi w odpowiedzi nie tylko na pojedynczy impuls, lecz na dowolną sekwencję sygnałów wymuszających. Można bowiem dobrać odpowiedni algorytm obliczania wartości odpowiedzi obiektu w dowolnej chwili na znane wartości sygnału wymuszającego (korygującego) w chwilach poprzedzających. Jest to zobrazowane na ilustracji pod tytułem „Obliczanie zmiany wartości odpowiedzi obiektu”. Ilustracja dotyczy tych samych czterech przypadków szczególnych, jakie oglądać możemy na poprzednio pokazanych wykresach. Podaje jednak liczbowe wartości odpowiednich sygnałów korygujących, a także odpowiadających im zmian wartości regulowanej wielkości. Wykresy ukazują kształt odpowiedzi oraz zarejestrowane na dokumencie trendy zmian. Z kolei ilustracja dostarcza narzędzi do obliczania chwilowej wartości odpowiedzi obiektu regulacji. Każdy strumień danych może być podzielony i zapisany jako próbki wartości pobierane co ?t sekund. Zgodnie z opisem w ilustracji chwilowe wartości regulowanego parametru y(0), y(1), y(2), … (w chwilach t = 0, = 1, = 2) są odpowiedzią obiektuna działania wymuszające regulatora o wartości „u”: u(0), u(1), u(2), … Otrzymujemy zatem iloczyny wartości zmian regulowanego parametru po wymuszeniu impulsem jednostkowym mnożonym przez wartość „u” w kolejnych chwilach: u·h(0), u·h(1), u·h(0) … Stąd też zmiany wartości odpowiedzi obiektu wynoszą odpowiednio:

y(0) = u(0)·h(0)
y(1) = u(0)·h(1) + u(1)·h(0)
y(2) = u(0)·h(2) + u(1)·h(1) + u(2)·h(0)

i tak dalej, według powyżej przedstawionego schematu.

Wartość zmiany regulowanego parametru w każdej następnej chwili będzie wyrażona coraz to dłuższym wyrażeniem algebraicznym, w miarę jak kolejne impulsy korygujące popłyną z regulatora. Na szczęście istnieje dogodny sposób na ograniczenie ilości pojedynczych działań mnożenia i dodawania. Wyjaśniato tabela zwijania wyrażeń, gdzie dwa długie wyrażenia: H = h(0), h(1), h(2), … oraz U = u(0), u(1), u(2), … są mnożone razem, w celu wyliczenia wartości Y = y(0), y(1), y(2), … przy użyciu znanego, długiego algorytmu obliczeniowego; posługującego się danymi h(0), h(1), h(2), … oraz u(0), u(1), u(2), … zamiast poszczególnymi liczbami. Taki sposób obliczania z wykorzystaniem zwijania jest dokładnym matematycznym odzwierciedleniem obliczania krok po kroku, mnożąc i dodając poszczególne wyrażenia (wiersz po wierszu i kolumna po kolumnie). Zapisujemy go skrótowo w postaci Y = H*U, przy czym znak * jest symbolem operatora zwijającego, znanego w matematyce z analizy układów liniowych.  

Artykuł pod redakcją inż. Józefa Czarnula, specjalisty automatyka z wieloletnim
doświadczeniem w projektowaniu i uruchamianiu układów automatyki