Nie sposób wyobrazić sobie obecnie stosowania szeroko rozumianych technologii wytwarzania na zautomatyzowanych liniach produkcyjnych bez obróbki materiałów metodami cięcia. W dzisiejszych czasach może to być proces bardzo zaawansowany technologicznie. Dzięki różnym rodzajom cięcia (w zależności od medium) możliwe jest uzyskiwanie złożonych kształtów produktów wykonanych z różnych materiałów. Często jedynymi ograniczeniami są grubość i jakość materiału oraz wpływ ciepła na jego własności.
Ogólnie rzecz biorąc, cięcie służy pokonaniu spójności materiału, a więc jest procesem jego rozdzielania. Może być on wykonany poprzez usunięcie części materiału metodą obróbki ubytkowej lub bez jego usuwania, metodą obróbki plastycznej. Cięcie metodami obróbki plastycznej (mechaniczne) polega na rozdzieleniu materiału przez wytworzenie takiego stanu naprężenia w żądanym miejscu, aby nastąpiło pęknięcie obrabianego przedmiotu (np.: cięcie jedną lub dwoma krawędziami tnącymi, cięcie nożowe). Metoda obróbki ubytkowej związana jest z dostarczeniem innego rodzaju energii niż mechaniczna, m.in.: cięcie laserem, strumieniem wody lub gazem (np. tlenem lub plazmą).
Z uwagi na wysokie wymagania technologiczne w stosunku do wykonywanych produktów (m.in.: dokładność procesu, gładkość krawędzi detalu, brak uszkodzeń materiału), proces ten jest często automatyzowany (poprzez wykorzystanie specjalistycznych urządzeń lub robotów przemysłowych), co pozwala na uzyskanie wysokiej precyzji i powtarzalności ruchów w kolejnych etapach procesu cięcia. W zależności od wybranej technologii, podczas realizacji procesu cięcia powstaje wiele niezdrowych i niebezpiecznych dla człowieka emisji (kurz, hałas, wilgoć czy światło lasera). Dlatego też na zrobotyzowanych liniach produkcyjnych można spotkać wykorzystanie obu metod (obróbki ubytkowej i obróbki plastycznej).
Z uwagi na różne metody technologii cięcia oraz ? w niektórych przypadkach ? możliwość połączenia tej technologii z technologiami łączenia (zwłaszczaw przypadku techniki laserowej), czasami budowane są uniwersalne stanowiska umożliwiającestosowanie obu technologii. Stanowisko do cięcia często znajduje się w oddzielnej komorze, do której produkty są dosyłane (np. przy użyciu pozycjonera obrotowego), po uprzednim automatycznym bądź ręcznym ich przygotowaniu (m.in. odpowiednim zamocowaniu). W czasie gdy realizowany jest proces technologiczny, po drugiej stronie pozycjonera zdejmuje się gotowy produkt, a w jego miejsce mocuje kolejny do obróbki. Podobnie jak w przypadku stanowisk spawalniczych, kontroler robota wraz z całym systemem sterowania i bezpieczeństwa, znajdują się poza komorą procesową, w łatwo dostępnym miejscu. Z uwagi na możliwość stosowania niebezpiecznych technologii (np. podczas cięcia laserem) konieczne jest zwrócenie szczególnej uwagi zarówno na system bezpieczeństwa chroniący wejście człowieka do zabronionej strefy (np. stosowanie kurtyn świetlnych, zamków bezpieczeństwa), jak i ochronę samego robota tnącego (stosując programowe systemy bezpieczeństwa dla robotów, tj.: CUBIC, DCS, SafeMove; więcej na temat systemów bezpieczeństwa można znaleźć w dodatkach do ?Control Engineering? ? ?Bezpieczeństwo 2016? i ?Bezpieczeństwo 2015?).
Roboty specjalnie przeznaczone do procesu cięcia powinny spełniać podobne wymagania jak roboty spawalnicze, a więc mieć m.in.:
- sześć stopni swobody z dużym zakresem ruchów;
- zdolność do pracy na dużych prędkościach i z dużą dynamiką ruchów;
- możliwość realizacji dokładnej trajektorii ruchu, z użyciem różnych interpolacji;
- pełne sterowanie dodatkowymi osiami (np. pozycjonerów obrotowych);
- stosowny udźwig, dopasowany do wykorzystywanych technologii (często większy niż w przypadku spawania);
- w miarę możliwości ? opcję poprowadzenia przewodów sygnałowych i zasilających wewnątrz obudowy, w celu zabezpieczenia przed uszkodzeniem.
Cięcie mechaniczne
Rozróżnia się trzy podstawowe rodzaje cięcia mechanicznego: za pomocą krawędzi tnących narzędzia na prasach lub nożycach (gilotynowych, krążkowych albo dźwigniowych), kuźnicze (poprzez kucie) oraz najpopularniejsze ? skrawające, przy użyciu wprowadzonych w ruch różnego rodzaju pił lub innych elementów tnących, pozwalających na naruszenie spójności materiału.
Przykładem robotyzacji technologii cięcia mechanicznego może być stanowisko pracujące w firmie Characteristix Limited (Wielka Brytania). Wdrażanie zrobotyzowanych stanowisk produkcyjnych u tego producenta rozpoczęto już ponad dziesięć lat temu, a obecny trend rozwoju wskazuje, że była to dobra decyzja. Characteristix Limited zajmuje się produkcją różnego rodzaju odznak, w rodzaju znaczków firmowych (figurek, wisiorków, gadżetów, magnesów na lodówkę, plastikowych spinaczy itp.), a na liście odbiorców ma m.in. takie firmy, jak 20th Century Fox, BBC Worldwide, Disney czy Universal Warner Bros Studios. Ciekawostką jest fakt, że firma oferuje swoje produkty również w krótkich seriach (w przeciwieństwie do producentów z Chin). Gruntowną modernizację zakładu rozpoczęto od uruchomienia zrobotyzowanego stanowiska z robotem IRB 140 firmy ABB, do wytwarzania detali z tworzyw sztucznych metodą wtrysku. Uruchomione przez firmę Geku stanowisko umożliwia wyprodukowanie do 33 tys. sztuk nowych produktów. Cykl pracy zaczyna się od zautomatyzowanego wyjęcia z maszyny formowania wtryskowego wypraski (kształtki) i umieszczenia jej w uchwycie druku. Po nałożeniu nadruku sześcioosiowy robot IRB 140 wyjmuje wypraskę z uchwytu druku, wstawia do uchwytu trzymającego i nożycami usuwa 30 sztuk nóżek wypraski w czasie ok. 20 s (fot. 1). Przedstawiciel fabryki (Andy Knight) twierdzi, że zatrudnieni dotąd na stanowiskach ręcznych pracownicy przekwalifikowali się i uczestniczą w programowaniu robotów oraz obsłudze nowych stanowisk.
Coraz popularniejsze staje się również wykorzystanie robotów w przemyśle spożywczym, na liniach podczas rozbiórki uprzednio przygotowanych tusz zwierzęcych. W tym przypadku roboty uzbrojone są w pojedyncze lub wieloostrzowe noże, za pomocą których odcinane są fragmenty z tusz lub półtusz. Przykładem może być wycinanie żeberek z półtusz wieprzowych, czy też rozbiórka drobiu na skrzydełka, udka itd. Systemy takie z reguły wykorzystują zaawansowane elementy osprzętu pozycjonującego, jak również systemy wizyjne, w celu optymalizacji trajektorii cięcia, w związku z dość różnorodnym materiałem wchodzącym na stanowiska
Cięcie ultradźwiękami
Zasadniczo technologia cięcia ultradźwiękami wykorzystuje fale dźwiękowe, których częstotliwość jest zbyt wysoka, aby usłyszał je człowiek. Za górną granicę słyszalnych częstotliwości, a jednocześnie dolną granicę ultradźwięków, uważa się częstotliwość 20 kHz, choć dla wielu osób granica ta jest znacznie niższa. Za umowną, górną granicę ultradźwięków przyjmuje się częstotliwość 1 GHz. Cięcie ultradźwiękami jest wysoce precyzyjne, bez względu na to, czy produkt jest rzadki, twardy oraz jedno- lub wielowarstwowy. Do cięcia ultradźwiękami wykorzystuje się ostrza, które wibrują z częstotliwością 20 kHz (lub wyższą), a produkty poddawane obróbce, dzięki wykorzystaniu robotów, mogą być cięte wzdłuż, w poprzek, pod dowolnym kątem lub wzdłuż zaplanowanej trajektorii.
Końcowy odbiorca produktu zawsze zwraca szczególną uwagę na jego dokładne wykończenie, co więcej ? w wielu przypadkach efekt wizualny determinuje chęć dalszej współpracy z danym producentem. W branży samochodowej przykładem może być wnętrze samochodu, w stosunku do którego użytkownicy mają szczególne wymagania. Dlatego też producenci aut zwracają szczególną uwagę na wygląd komponentów wnętrza pojazdu, dostarczanych przez podwykonawców. Przykładami mogą być: wygląd, kolor (przebarwienia), wykończenie krawędzi oraz funkcjonalność deski rozdzielczej, która jako pierwsza podlega ocenie po zajęciu miejsca za kierownicą.
Firma Lear Corporation w Tidaholm (Szwecja) jest dostawcą elementów w branży automotive od ponad stu lat, a każdego roku z jej linii produkcyjnej schodzi ok. 250 tys. wyrobów, których głównymi odbiorcami są Volvo i Saab. Roboty są tam wykorzystywane w wielu aplikacjach: od cięcia ultradźwiękami, poprzez procesy klejenia, wytwarzania pianki, po frezowanie i szlifowanie paneli.
W produkcji warstwy wierzchniej do tablicy przyrządów Lear stosuje charakteryzujący się dużą wytrzymałością tzw. materiał TPO (Thermoplastic Elastomer Polyolefin). Niestety, wadą rozwiązania jest trudna obróbka tego materiału. Dawniej proces cięcia uformowanej z niego powierzchni odbywał się metodą cięcia tradycyjnego, jednak dochodziło wówczas do ?rozmazywania? materiału oraz powstawania ostrych fragmentów. Ponieważ materiał i narzędzia do formowania były statyczne, małe kawałki przyklejały się do powierzchni formujących narzędzia i w momencie podania następnego kawałka materiału nadawał się on jedynie do wyrzucenia. Obecnie w firmie pracuje robot firmy ABB (fot. 2), wyposażony w ultradźwiękowy nóż, który wycina całą geometrię produkowanych elementów. W przypadku tego rozwiązania transmitowany jest dźwięk o wysokiej częstotliwości, który wprawia nóż w szybkie ruchy, co umożliwia cięcie laminowanego włókna szklanego, nawet kiedy ścieżka ruchu jest bardzo złożona. Technologia ultradźwiękowa pozwala na osiągnięcie bardzo dokładnego i w pełni kontrolowanego cięcia. Zdaniem użytkowników jest lepsza od lasera, gorących noży itp. ? z uwagi na brak dymu i nierozmazywanie się ciętego materiału. W zależności od złożoności i rodzaju materiału, można wybrać różne typy noży i różnicowanie generowanych przez wzmacniacz ruchów. Użycie robota wyposażonego w drgający z wysoką częstotliwością nóż pozwala na cięcie materiału bez jego uszkadzania (np. nadpalenie, namoczenie), z dużą prędkością, zachowując przy tym dokładność dziesiętnych części milimetra.
Cięcie laserowe
Proces cięcia laserem może być wykorzystywany do rozdzielania zarówno materiałów metalicznych, jak również niemetalicznych, takich jak tworzywa sztuczne czy ceramika. Technologia laserowa jest stosowana do cięcia blach o grubości do 6 mm, z prędkością do 25 m/min. Podstawową różnicą między klasycznym cięciem mechanicznym a cięciem laserem jest zastosowanie czynnika tnącego w postaci promienia lasera, oddziałującego na materiał w otoczeniu gazu ochronnego o dużej czystości (np. azot, argon) lub gazu czynnego (np. tlen, sprężone powietrze), którego zadaniem jest: wydmuchiwanie stopionego podczas cięcia materiału, zapobieganie procesowi utleniania się powierzchni przecięcia, zapobieganie spalaniu się łatwopalnych materiałów, przyspieszanie procesu cięcia (utlenianie ciekłego metalu generuje dodatkowe ciepło) oraz zwiększanie precyzji samego cięcia. W zależności od mocy i konfiguracji stosowanego urządzenia, istnieje kilka sposobów przeprowadzania procesu cięcia laserowego (przez odparowanie, topnienie i wydmuchiwanie, wypalenie, generowanie pęknięć termicznych, zarysowanie, tzw. zimne cięcie). Sam proces uzależniony jest w dużej mierze od materiału poddawanego cięciu i zależy nie tylko od jego składu chemicznego, ale również od współczynnika absorpcji padającego promieniowania laserowego oraz przewodności cieplnej materiału. Istotnym z punktu widzenia procesu cięcia laserowego jest również dobór światłowodu i, co za tym idzie, szerokości wiązki. Stanowisko wyposażone w źródło laserowe, w zależności od zamontowanej głowicy i podłączonego światłowodu, może być wykorzystane do procesu cięcia lub spawania, mając na uwadze to, że ? jak już wspomniano ? w procesie cięcia stosuje się mniejsze średnice wiązki. Na fot. 3 pokazano stanowisko laboratoryjne wykorzystujące technologię cięcia laserowego.
Wśród zalet cięcia laserowego należy wyróżnić:
- możliwość cięcia materiałów o różnych właściwościach;
- brak bezpośredniego styku obrabianego przedmiotu z narzędziem, dzięki czemu nie następuje degradacja fizyczna narzędzia;
- brak szerokiej strefy oddziaływania cieplnego ? nie obserwuje się w związku z tym zmian struktury materiału, hartowania miejscowego, naprężeń wewnętrznych materiału oraz indukowania mikropęknięć;
- wysoką jakość obrabianych krawędzi;
- łatwość automatyzacji procesu i sterowania, co zapewnia szybką integrację z robotami i systemami komputerowymi;
- dużą szybkość procesu cięcia.
Przykładem nowoczesnego rozwiązania może być stanowisko do cięcia laserem, wykorzystywane w fabryce amerykańskiej firmy Collins & Aikman, w miejscowości Skara w Szwecji (fot. 4). Zakład specjalizuje się w produkcji modułów kokpitów, wyposażenia wewnętrznego i systemów akustycznych. Na w pełni zautomatyzowanej linii produkowane są tam elementy wnętrz do samochodów SAAB (modele 9-3 i 9-5). Stanowiska do cięcia laserem wykonane zostały przez partnera ABB ? firmę Robot-Technology.
Materiałem bazowym do wykończenia wnętrza jest filc, dostarczany z dwóch rolek materiału. Proces technologiczny zaczyna się od zdjęcia materiału na przemian z obu rolek, który jest następnie cięty wzdłuż i w poprzek. Tak przygotowane elementy trafiają na stanowisko do podgrzewania materiału. Jest ono podzielone na sześć stref, w których temperatura może być niezależnie regulowana (różne podgrzanie stref pomaga łatwiej formować materiał z uwagi na zwiększenie jego plastyczności). Podgrzany materiał jest przenoszony przez robota IRB6650 firmy ABB do wtryskarki, gdzie następuje spryskanie go sztucznym tworzywem, zapewniającym odpowiedni profil. Materiał jest chłodzony i odkładany na kolejne stanowisko ze stołem obrotowym. Przygotowany do cięcia element jest przemieszczany przez stół obrotowy do komory cięcia laserem (w tym samym czasie stół obrotowy przemieszcza obrobiony w komorze laserowej produkt). Stanowisko do cięcia bazuje na robocie IRB4400 firmy ABB, który unosi laser w specjalnej obudowie. Przygotowane stanowisko pozwala na pracę dwóch robotów, w przypadku konieczności skrócenia cyklu pracy, jednak standardowo pracuje na nim jedno urządzenie. Podczas procesu cięcia robot IRB6650 odbiera ze stołu obrotowego wyciętą część i odkłada ją na podajnik. Następnie cykl się powtarza.
Z uwagi na rosnące zainteresowanie zrobotyzowanymi technologiami cięcia laserowego, firmy oferują gotowe rozwiązania, czego przykładem może być system do cięcia 3D, opracowany w oparciu o roboty Kawasaki (fot. 5). Całość składa się z lasera światłowodowego 2 kW oraz trzech robotów Kawasaki. Zadaniem pierwszego (RS080N) jest wykonywanie cięcia. Pozostałe dwa odpowiadają za dostarczenie kolejnych detali w obszar pracy robota zajmującego się procesem cięcia. Stanowisko jest przeznaczone do obróbki 3D cienkich materiałów (14 mm) z prędkościami 315 m/min dla stali czarnej oraz 330 m/min dla stali nierdzewnej. System może pracować z jedną lub kilkoma głowicami, które są zamontowane na robocie, za pośrednictwem złącza antykolizyjnego. Kompletne stanowisko zajmuje 80 m2, a obszar pracy robotów jest zabezpieczony zgodnie z europejskimi standardami bezpieczeństwa (m.in.: EN 60825-1, EN 60204-1,
EN 207, EN 50081-2 oraz 89/392/EWG, 89/336/EWG, 73/23/EWG). Stanowisko podzielono na dwie sekcje (w każdej pracuje robot podający detale) oraz wspólny obszar pracy lasera. Zapewnia to optymalne wykorzystanie stanowiska i zwiększa jego wydajność.
Zrobotyzowane stanowisko do laserowego cięcia 3D dostarczane jest jako kompletny system, wraz z programami sterującymi i programami ruchu robotów oraz instalacją i szkoleniami z obsługi stanowiska i programowania robotów Kawasaki.
Cięcie plazmą
Z uwagi na wysoki koszt techniki laserowej, odbiorcy zrobotyzowanych stanowisk produkcyjnych technologii cięcia niejednokrotnie decydują się na zakup i wykorzystanie technologii cięcia plazmą. Proces cięcia plazmowego polega na topieniu i wyrzucaniu metalu ze szczeliny cięcia
silnie skoncentrowanym, plazmowym łukiem elektrycznym, jarzącym się między elektrodą nietopliwą a ciętym przedmiotem. Z uwagi na bardzo wysokie temperatury w trakcie procesu (zależne od natężenia prądu, stopnia koncentracji łuku oraz gazu plazmowego), wykonana z miedzi elektroda jest chłodzona wodą lub powietrzem.
Łuk plazmowy do cięcia wszystkich materiałów przewodzących prąd stosowano w przemyśle już w latach 50. ubiegłego wieku. Dynamiczny rozwój tej technologii pozwala dziś na cięcie metali palnikami plazmowymi o łuku zależnym, m.in. cięcie żeliwa, stali, stali wysokostopowej, aluminium, miedzi, stali austenitycznych, stopów lekkich i stali niskostopowych. Zajarzenie łuku w takich palnikach odbywa się za pomocą impulsu elektrycznego o wysokim napięciu lub prądem wysokiej częstotliwości. Technologia cięcia plazmowego pozwala również na cięcie materiałów niemetalicznych, jednak wówczas stosuje się palniki plazmowe o łuku niezależnym. Przy projektowaniu stanowiska należy pamiętać o wyposażeniu go w wentylację, z uwagi na wydzielanie szkodliwych dla zdrowia oparów.
Głównymi parametrami cięcia plazmowego, mającymi wpływ na przebieg procesu, są:
- natężenie prądu (wpływa na temperaturę i energię łuku),
- napięcie łuku (wpływa na sprawny przebieg procesu),
- prędkość cięcia w m/min. (wpływa m.in. na szerokość szczeliny),
- rodzaj i ciśnienie oraz natężenie przepływu gazu plazmowego,
- średnica dyszy zwężającej,
- rodzaj i konstrukcja elektrody (typ ciętych materiałów),
- położenie palnika względem ciętego przedmiotu.
Do głównych zalet technologii cięcia plazmą należy zaliczyć: wysoką prędkość przebiegu całego procesu, wąskie szczeliny cięcia i brak efektu nadpalenia, zwłaszcza materiałów cienkich. Wady to przede wszystkim hałas, duża intensywność łuku, duża ilość gazów i dymu oraz niedoskonałości ciętych krawędzi (utlenienie i zanieczyszczenie oraz problem z zachowaniem prostopadłości krawędzi).
Uruchomione w 2015 r. w Laboratorium Robotyki Wydziału Mechatroniki i Lotnictwa Wojskowej Akademii Technicznej w Warszawie stanowisko do cięcia plazmą pozwala na cięcie złożonych kształtów (fot. 6). W skład stanowiska wchodzi sześcioosiowy robot przemysłowy, zintegrowany z dwuosiowym pozycjonerem obrotowym. Takie rozwiązanie pozwala na realizację złożonych trajektorii pracy robota w przestrzeni 3D. Stanowisko wyposażono w nowoczesne systemy bezpieczeństwa, co pozwala na pełne szkolenie programistów i operatorów robotów przemysłowych.
Cięcie wodą
Wszędzie tam, gdzie nie sprawdzają się wysokotemperaturowe procesy wytwórcze, poszukuje się alternatywnych rozwiązań. Przykładem może być technologia cięcia wodą. W tej metodzie wykorzystuje się energię strumienia wody o ciśnieniu nawet do 4 tys. barów. Główną zaletą tego rozwiązania jest niska temperatura oraz duża dokładność realizacji. Niska temperatura procesu sprawia, że nie dochodzi do nadpaleń krawędzi (np. podczas cięcia wykładzin samochodowych), a sam proces nie pozostawia ostrych zadziorów (co ma miejsce w przypadku cięcia plazmą lub laserem).
Cięcie wodą można stosować dla różnego typu materiałów, poczynając od żywności przez gumę, drewno, szkło, ceramikę, stal, na tytanie kończąc. W przypadku konieczności cięcia twardych materiałów wykorzystuje się mieszaninę wody z garnetem (bardzo drobnym ścierniwem, wykorzystywanym również do obróbki ściernej ? piaskowania powierzchni).
Przykładem wykorzystania tego typu rozwiązania jest stanowisko firmy Panwen Automation Shanghai (fot. 7). W jego skład wchodzą dwa roboty firmy ABB ze stołem obrotowym. Z uwagi na stosowane medium cięcia, stanowiska tego typu stanowią zamknięte i szczelne komory. Pozycjoner z jednej strony pozwala na montaż (zwykle ręczny) nowych produktów do cięcia, z drugiej zwiększa elastyczność stanowiska, wprowadzając do stacji dodatkowe stopnie swobody.
Wirtualne cięcie
Dużym ułatwieniem podczas programowania operacji cięcia zrobotyzowanego jest opcja wirtualizacji procesu. Możliwe jest to dzięki dostępności środowisk takich, jak RobotStudio, Roboguide czy KUKA SimPRO. Pozwalają one na wygenerowanie idealnej trajektorii na powierzchni materiału, na którym odbywa się cięcie. Szczególnie istotne jest to w odniesieniu do możliwości, jakie daje sześcioosiowa konstrukcja manipulatorów unoszących narzędzia tnące. W przypadku ploterów laserowych czy wycinarek wodnych umożliwia to generowanie przestrzennych trajektorii, dla których w bardzo prosty sposób można zapewnić zachowanie określonego położenia głowicy tnącej względem materiału. Uwzględniając fakt, że przy produkcji seryjnej często dysponuje się projektami CAD wytwarzanych detali, wykorzystanie środowiska wirtualnego może w sposób istotny uprościć, jak też poprawić jakość programowanego procesu cięcia na stanowisku zrobotyzowanym.
Podsumowanie
Nie bez przyczyny znaczną objętość artykułu zajmują zrobotyzowane procesy cięcia z wykorzystaniem techniki laserowej ? to ona przeżywa bowiem obecnie największy rozwój. Choć jest to technologia kosztowna (zwłaszcza w porównaniu z pozostałymi metodami), znajduje coraz szersze zastosowanie, m.in. z uwagi na jej uniwersalność, gwarantowanie najwyższej jakości obróbki, wąską strefę wpływu ciepła, łatwość automatyzacji, szeroki zakres materiałów poddających się procesowi cięcia i, co ważne, niezużywanie się narzędzia. Oczywiście, jak każda technologia, cięcie laserem ma swoje wady. Są wśród nich wspominany wcześniej stosunkowo wysoki koszt inwestycyjny oraz ograniczona grubość ciętej blachy.
Autorzy:
Wojciech Kaczmarek jest kierownikiem Zespołu Mechatroniki na Wydziale Mechatroniki i Lotnictwa Wojskowej Akademii Technicznej. Zajmuje się m.in. modelowaniem układów robotyki, programowaniem robotów przemysłowych oraz satelitarnymi systemami nawigacji.
Jarosław Panasiuk jest adiunktem w Katedrze Mechatroniki na Wydziale Mechatroniki i Lotnictwa Wojskowej Akademii Technicznej. Zajmuje się m.in. modelowaniem układów robotyki, programowaniem robotów przemysłowych, sieciami neuronowymi, analizą obrazu oraz modelowaniem matematycznym.
