Optymalizacja nastaw regulatorów PID to nie zagadnienie czysto naukowe ani tym bardziej żadna magia. W artykule opisano kilka sprawdzonych metod i zasad dotyczących tej czynności.
Pętla regulacji to mechanizm sterowania oparty na sprzężeniu zwrotnym, które usiłuje korygować rozbieżności pomiędzy mierzoną wartością zmiennej procesowej a pożądaną wartością zadaną (punktem nastawy). Specjalne urządzenia lub moduły, określane mianem regulatora, dokonują niezbędnych poprawek za pomocą elementu wykonawczego, który może fizycznie zwiększać lub zmniejszać poziom zmiennej procesowej. Przykładowo, piece do centralnego ogrzewania domów współpracują z podstawowymi regulatorami temperatury, które włączają lub wyłączają ogrzewanie, w zależności od tego, czy zmierzona przez termostat temperatura w danym pomieszczeniu jest zbyt niska lub zbyt wysoka.
W przemyśle w wielu aplikacjach wykorzystuje się regulatory proporcjonalno-różniczkująco-całkujące PID. Śledzą one bieżący uchyb regulacji, będący różnicą pomiędzy aktualną wartością zmiennej procesowej a punktem nastawy, i wzmacniają jego wartość (człon proporcjonalny, P), wykonują całkowanie ostatnich uchybów (człon całkujący, I) i różniczkowanie sygnału uchybu (człon różniczkujący, D). Na podstawie sumy ważonej sygnałów wyjściowych z tych trzech członów regulator oblicza następną akcję korygującą, następnie wysyła odpowiedni sygnał do elementu wykonawczego sterującego procesem i oczekuje na wynik następnego pomiaru. Powtarza tę pętlę „pomiar-decyzja-akcja” tak długo, aż uchyb zostanie wyeliminowany.
Podstawy regulacji PID
Regulator PID, wykorzystujący algorytm idealny albo standardowy algorytm ISA (International Society ofAutomation – Międzynarodowego Stowarzyszenia Automatyki), oblicza swój sygnał wyjściowy Controller Output – CO(t), wg wzoru z rys. 1. Process Variable – PV(t) – jest wartością zmiennej procesu pomierzoną w czasie t, zaś uchyb regulacji (error), e(t), jest różnicą pomiędzy wartością zmiennej procesowej a punktem nastawy. We wzorze na sygnał wyjściowy regulatora PID występuje suma ważona, w której waga członu proporcjonalnego jest determinowana przez współczynnik P, członu całkującego – przez współczynnik P/TI , zaś członu różniczkującego – przez współczynnik P · TD, gdzie P jest wzmocnieniem regulatora, TI czasem całkowania, zaś TD czasem różniczkowania.
Ta terminologia wymaga nieco wyjaśnień. „Wzmocnienie” odnosi się do bezwymiarowej wielkości, określającej zwiększanie lub zmniejszanie sygnału uchybu przez regulator, zanim uchyb stanie się częścią sygnału wyjściowego. Regulator PID o wysokim wzmocnieniu będzie dążył do generowania szczególnie agresywnych akcji korygujących uchyb.
„Czas całkowania” odnosi się do hipotetycznej sekwencji zdarzeń, gdy uchyb na początku ma wartość zerową, a następnie nagle skokowo osiąga wartość ustaloną. Taki uchyb spowodowałby natychmiastową odpowiedź członu proporcjonalnego regulatora oraz odpowiedź członu całkującego, która rozpoczyna się od zera i wzrasta ze stałą prędkością. Czas potrzebny na to, aby sygnał członu całkującego osiągnął niezmieniającąsię wartość sygnału członu proporcjonalnego, jest czasem całkowania TI. W regulatorze PID z długim czasem całkowania akcja proporcjonalna ma większą wagę niż akcja całkująca.
Podobnie jak w przypadku czasu całkowania, czas różniczkowania TD jest miarą względnego wpływu członu różniczkującego na sygnał wyjściowy regulatora PID, jak pokazuje wzór. Jeśli wartość uchybu rozpoczynałaby się od zera i wzrastała z ustaloną prędkością, to człon proporcjonalny rozpoczynałby swoją akcję od zera, podczas gdy sygnał wyjściowy członu różniczkującego przyjąłby jakąś ustaloną wartość. Sygnał wyjściowy członu proporcjonalnego wzrastałby ze stałą prędkością, aż do osiągnięcia wartości sygnału członu różniczkującego na końcu czasu różniczkowania. W regulatorze PID o długim czasie różniczkowania akcja różniczkująca ma większą wagę niż akcja proporcjonalna.
Zarys historyczny
Pierwsze regulatory ze sprzężeniem zwrotnym zawierały tylko człon proporcjonalny. Ze względów matematycznych, które stały się oczywiste w późniejszym czasie, regulator zawierający tylko człon P dąży do sprowadzania uchybu do jakiejś małej, ale niezerowej wartości, a następnie wstrzymuje dalsze działanie. Operatorzy obserwujący to zjawisko ręcznie zwiększali sygnał wyjściowy regulatora, aż do wyeliminowania ostatnich śladów uchybu. Nazywali takie działanie „resetowaniem” (zerowaniem) regulatora.
Gdy wprowadzono człon całkujący, operatorzy zaobserwowali, że dąży on do automatycznego wykonywania operacji resetowania. Znaczy to, że regulator zwiększał swoje działanie proporcjonalne dokładnie na tyle, aby całkowicie wyeliminować uchyb. Stąd operacja całkowania została oryginalnie nazwana „automatycznym resetem”, co do dziś utrzymało się w niektórych regulatorach PID. Wkrótce po członie całkującym wynaleziono człon różniczkujący i opisano go z wystarczającą dokładnością jako „regulator prędkości”.
Trudne wyzwanie
Optymalizacja nastaw regulatora PID jest sztuką takiego doboru odpowiednich wartości parametrów P, TI i TD, aby regulator ten był w stanie szybko wyeliminować uchyb, bez spowodowania nadmiernych wahań wartości zmiennej procesu. Jednak łatwiej to powiedzieć, niż wykonać.
Rozważmy np. układ automatycznej regulacji prędkości samochodu – tempomat. Może on rozpędzać auto do pożądanej prędkości podróżnej, ale nie momentalnie. Inercja samochodu powoduje opóźnienie pomiędzy momentem dodania gazu przez regulator a osiągnięciem przez pojazd nastawionej prędkości. Działanie regulatora PID w dużej mierze zależy od takich bezwładności.
Przypuśćmy teraz, że mamy przeciążony samochód ze zbyt słabym silnikiem, który nagle rusza pod stromą górę. Powstaje uchyb będący różnicą pomiędzy aktualną a pożądaną prędkością samochodu, który powoduje natychmiastowe rozpoczęcie działania przez człony różniczkujący i proporcjonalny. Regulator zaczyna rozpędzać samochód, ale tylko z takim przyspieszeniem, na jakie pozwala bezwładność pojazdu.
Po chwili zaczyna się także działanie członu całkującego, którego sygnał dodaje się do sygnału wyjściowego regulatora i w końcu zaczyna nad nim dominować, bo gdy bezwładność obiektu regulacji jest duża, to uchyb regulacji zmniejsza się powoli i występuje uchyb podtrzymany (sustained error), co napędza działanie członu całkującego. Dokładna chwila, kiedy to nastąpi i jak dominująca będzie akcja całkująca, zależy od stopnia bezwładności oraz względnych wielkości czasu całkowania i różniczkowania regulatora.
Ten prosty przykład demonstruje fundamentalną zasadę optymalizacji nastaw regulatorów PID. Najlepszy dobór każdej z nastaw – P, TI i TD – zależy zarówno od wartości pozostałych dwóch, jak i od zachowania się regulowanego procesu. Ponadto modyfikowanie nastaw dowolnego z członów regulatora wpływa na działanie pozostałych, ponieważ regulator ze zmodyfikowanymi ustawieniami oddziałuje na proces, a z kolei proces oddziałuje na regulator.
Optymalizacja nastaw metodami Zieglera-Nicholsa
Jak inżynier automatyk projektujący regulator PID może wyznaczyć takie wartości P, TI i TD, aby regulator działał najlepiej w danej aplikacji? John G. Ziegler i Nathaniel B. Nichols z firmy Taylor Instruments (obecnie należącej do koncernu ABB) odpowiedzieli na to pytanie już w roku… 1942, gdy opublikowali dwa sposoby optymalizacji nastaw PID, które pozostają popularne do dziś i są powszechnie wykorzystywane.
Ich metoda otwartej pętli opiera się na wynikach testu odpowiedzi skokowej, w którym automatyka regulatora zostaje wyłączona i ręcznie wymusza się na nim gwałtowny wzrost (skok) sygnału wyjściowego. Wykres odpowiedzi skokowej obiektu regulacji, czyli zmiennej procesu, określany jest mianem „krzywej odpowiedzi” (rys. 2).
Nachylona linia prosta, styczna do krzywej odpowiedzi w jej punkcie przegięcia, pokazuje szybkość reakcji procesu na skokową zmianę sygnału wyjściowego regulatora. Im większy kąt nachylenia tej linii do osi czasu, tym mniejsza stała czasowa procesu T, która jest miarą stopnia bezwładności obiektu regulacji.
Krzywa odpowiedzi pokazuje ponadto czas potrzebny na przedstawienie przez proces swojej odpowiedzi początkowej na to wymuszenie (czas martwy, d) oraz to, ile razy wartość zmiennej procesu wzrosła w stosunku do wielkości wymuszenia (wzmocnienie procesu, K). Metodą prób i błędów Ziegler i Nichols doszli do wniosków, że najlepsze wartości parametrów P, TD i TI można obliczyć na podstawie wartości T, d i K z następujących równań:
P = (1,2 · T)/(K · d)
TI = 2,0 · d
TD = 0,5 · d
Po ustawieniu takich parametrów w regulatorze PID i włączeniu go z powrotem w tryb automatyczny regulator ten powinien być w stanie eliminować uchyby w przyszłości, bez powodowania nadmiernych wahań wartości zmiennej procesu.
Ziegler i Nichols opisali także drugą metodę optymalizacji nastaw regulacji. Przebiega ona w trybie automatycznym, ale przy wyłączonym całkowaniu i różniczkowaniu. Wzmocnienie regulatora jest zwiększane tak długo, aż nawet najmniejszy uchyb spowoduje trwałe oscylacje zmiennej procesu (rys. 3).
Najmniejsze wzmocnienie regulatora, które może spowodować takie drgania, jest określane mianem wzmocnienia krytycznego (ultimate gain), Pu. Okres tych drgań zwany jest okresem drgań krytycznych (ultimate period), TU. Odpowiednie wartości optymalnych nastaw regulatora można obliczyć na podstawie tych dwóch wartości z następujących wzorów:
P = 0,6 · PU
TI = 0,5 · TU
TD = 0,125 · TU
Zastrzeżenia
Niestety, w rzeczywistości optymalizacja nastaw regulatorów PID nie jest taka prosta. Różne rodzaje regulatorów wykorzystują różne wersje równania na sygnał wyjściowy i każdy z nich musi być strojony według odpowiedniego zestawu reguł. Reguły te także się zmieniają, gdy:
-> różniczkowanie i/lub całkowanie jest wyłączone;
-> proces z natury jest oscylacyjny;
-> proces zachowuje się tak, jak gdyby zawierał swój własny człon całkujący (np. regulacja poziomu cieczy);
-> czas martwy d jest bardzo mały lub znacznie większy od stałej czasowej T.
Ponadto, gdy Ziegler i Nichols opracowywali swoje reguły optymalizacji nastaw, dążyli do szczególnego działania zamkniętej pętli regulacji. Wybrali wersję dopuszczającą pewne zmiany wartości zmiennej procesu, pod warunkiem że każda następująca wartość maksymalna składowej przejściowej nie będzie większa niż 0,25 tej wartości w poprzednim okresie oscylacji – określa się to mianem „zanikania do jednej czwartej wartości maksymalnej po jednym okresie oscylacji” (quarter-wave decay). Dla aplikacji, które wymagają mniejszych wartości maksymalnych oscylacji, potrzebne jest dodatkowe dostrajanie regulatora.
Optymalizacja nastaw regulatorów PID to swego rodzaju sztuka inżynierska i każdorazowo wyzwanie natury technicznej. Wymaga trochę doświadczenia i czasami dużo szczęścia, aby znaleźć odpowiednią kombinację parametrów P, TI i TD.
Autor: Dr inż. Vance VanDoren jest specjalistą ds. treści, współpracującym z Control Engineering.
Tekst pochodzi ze specjalnego wydania “Sterowanie Silniki & Napędy“. Jeśli Cię zainteresował, ZAREJESTRUJ SIĘ w naszym serwisie, a uzyskasz dostęp do darmowej prenumeraty w formie drukowanej i/lub elektronicznej.