Matematyczne modele przebiegu procesu mogą być wykorzystane do poprawy procedur i efektów projektowania oraz działania układów regulacji ze sprzężeniami zwrotnymi.
W swojej najprostszej formie model matematyczny jest równaniem opisującym zależność wartości jednej zmiennej od wartości innej zmiennej. Prawidłowo zbudowany model może opisać zachowanie się całego procesu w formie wymiernych, liczbowych parametrów i kategorii. Przykładowo, słynne równanie Einsteina E = mc2 modeluje proces zamiany materii w energię. Wykorzystuje prędkość światła (c) do opisania, ile energii (E) wydzieli się na skutek anihilacji obiektu o danej masie (m).
Bardziej złożone modele skomplikowanych i wielowymiarowych procesów obejmują więcej zmiennych i bardziej rozbudowane relacje matematyczne, jednak wszystkie mogą być rozłożone na cztery podstawowe składniki:
-> zmienne wejściowe,
-> zmienne wyjściowe,
-> stałe,
-> operatory.
Zmienne wyjściowe są tymi nieznanymi wielkościami, dla określenia których na podstawie znanych zmiennych wejściowych jest zaprojektowany cały model. W równaniu Einsteina ?E? jest wyjściem, zaś ?m? jest wejściem, ponieważ masa obiektu może być pomierzona, aby przewidzieć ilość energii, która się wydzieli na skutek anihilacji tego obiektu.
Wartość ?c? w równaniu Einsteina jest stałą, zawsze równą prędkości rozchodzenia się światła w próżni, niezależnie od tego, jaki obiekt zostaje poddany anihilacji. Stałe reprezentują podstawowe prawa fizyczne, chemiczne, ekonomiczne lub inne podstawowe zasady rządzące przebiegiem procesu. Modele procesów mechanicznych mogą więc zawierać współczynnik tarcia, który jest charakterystyczny dla modelowanego materiału. Modele procesów elektrycznych ? rezystancję, pojemność i indukcyjność obwodu. Natomiast w modelach procesów astronomicznych często główną wielkością jest stała grawitacji.
Operatory z kolei definiują działania matematyczne wymagane do obliczenia wartości wyjściowych, na podstawie wartości wejściowych oraz stałych. Mogą być zarówno prostym mnożeniem i podnoszeniem do kwadratu ? tak jak w przypadku równania Einsteina, jak również złożonymi operacjami w rodzaju transformacji Laplace?a czy rozkładów statystycznych.
Przykład modelu przemysłowego
Rozważmy w tym kontekście model związany z kotłem warzelnym do brzeczki, pokazanym na rys. 1. Zgodnie z prawem Fouriera ciepło popłynie z palników do kotła z prędkością proporcjonalną do różnicy temperatur palników i kotła. Matematycznie zjawisko to można opisać za pomocą modelu procesu lub dzięki relacji pomiędzy wejściem a wyjściem (input/output, I/O), jak pokazuje to równanie 1:
TOUT=k(TIN TOUT)
gdzie wejście TIN i wyjście TOUT oznaczają temperatury palników i kotła w dowolnej chwili, a TOUT jest pochodną lub prędkością zmian temperatury kotła w tej samej chwili.
Stały współczynnik proporcjonalności ?k? reprezentuje prędkość, z jaką temperatura kotła będzie rosła, gdy temperatura palnika przekroczy temperaturę kotła o 1 stopień. Jego wartość jest określana przez różne czynniki, w tym kształt i budowę kotła, własności termodynamiczne zawartości kotła oraz temperaturę otoczenia. Wartość stałej ?k?, która najlepiej reprezentuje zachowanie się danego kotła warzelniczego, może być określona czy wywnioskowana na podstawie analizy mających zastosowanie podstawowych zasad lub może być zmierzona empirycznie, przez obserwację postępowania procesu (patrz ramka ?Modelowanie procesu?).
Wykorzystanie modelu
Stworzenie dokładnego modelu dla procesu to tylko połowa sukcesu. Prawdziwe wyzwanie dla inżyniera automatyka stanowi bowiem zaprojektowanie regulatora, który najlepiej wykorzysta zdolność modelu do przewidywania wartości wyjściowej ? co da wynik, gdy regulacja zostanie zastosowana w stosunku do wielkości wejściowej procesu.
Brutalna, ale niejednokrotnie niezwykle użyteczna, jest metoda prób i błędów. Regulator zgaduje, kiedy ma nastąpić kolejne działanie w procesie regulacji i wykonuje je w stosunku do modelu, aby zobaczyć, czy na wyjściu otrzyma pożądany wynik. Jeśli nie, wykonuje dalej próby, aż ?przekona się?, że znalazł poprawną metodę regulacji. Ponieważ poszukiwania te mogą być zrealizowane w platformie komputerowej w krótkim okresie, regulator jest w stanie wypróbować tysiące możliwych kombinacji, zanim nadejdzie czas na zastosowanie wyboru ? wartości końcowej w stosunku do aktualnego procesu.
Ścisłe stosowanie metody prób i błędów jest jednak niezwykle nieefektywne. Bardziej inteligentnym i wydajnym podejściem byłoby wybranie każdego zgadywania według wyników poprzedniej próby, ustalając uwagę na poprawnym wyborze iteracyjnie.
Prostszą metodę stanowi wykorzystanie modelu ilustrowanego przez równanie 1, który może być rozwiązany i odwrócony matematycznie. Wprowadzenie potem żądanej wartości wyjściowej do odwróconego modelu i bezpośrednie obliczenie działania regulatora wymaganego do jej osiągnięcia staje się łatwe. Niestety, ta oczywista technika może dać niestabilne liczbowo wyniki z powodów, które nie są oczywiste.
Techniki niejawne, uwikłane
W tej części tekstu opisano wszystkie niejawne metody włączenia modelu procesu do operacji wykonywanych przez regulator (sterownik). Bardziej rozpowszechnione są techniki niejawne, które wykorzystują ten model tylko dla celów projektowania regulatora.
Na przykład reguły optymalizacji nastaw regulatorów proporcjonalno-różniczkująco-całkujących (PID) przekładają stałe modelu na odpowiednie wartości parametrów PID. Dla delikatnego procesu, który ? jak wykazuje model ? jest wysoce wrażliwy na działania regulatora, większość reguł optymalizacji przypisałaby konserwatywne parametry optymalizacji nastaw. Odwrotnie byłoby w przypadku procesu powolnego i ociężałego ? zasługiwałby on na bardziej agresywne parametry optymalizacji nastaw regulatora.
Regulator nigdy nie wykorzystuje modelu do bezpośredniego obliczania czegokolwiek, ale zdolność modelu do przewidywania odpowiedzi procesu na działania regulatora jest w zasadzie niezauważalnie włączana do optymalizacji nastaw.
Bardziej rozbudowane techniki projektowania regulatorów, stanowiące element tradycyjnego kursu nauczania podstaw automatyki na wyższych uczelniach ? kompensator całkująco-różniczkujący (lead/lag compensator), lokowanie biegunów (pole placement), śledzenie wartości zadanej (setpoint tracking) ? także wykorzystują model procesu nie wprost do identyfikowania zachowania się procesu. Jednak zamiast włączania stałych modelu do ustalonego zbioru reguł optymalizacji nastaw, techniki te wykorzystują dynamiczną charakterystykę modelu do opracowania regulatora, który odpowiada niektórym kryteriom regulacji automatycznej.
Inne aplikacje
Modele procesu są użyteczne nie tylko dla rozwiązywania problemów z projektowaniem regulatorów. Mogą być wykorzystane do tworzenia czujników wirtualnych, które mierzą jeden zbiór zmiennych i dedukują matematycznie wartości innego zbioru. Mogą także być użyte do symulacji przebiegu procesu podczas testowania proponowanego regulatora przed jego odbiorem technicznym.
Być może najbardziej efektywnym i korzystnym zastosowaniem dla modeli procesu (przynajmniej w przemyśle chemicznym i petrochemicznym) jest zarządzanie ograniczeniami.
Ograniczenia to granice fizyczne, które wyznaczają maksymalne wartości dopuszczalne dla zmiennych procesowych, takie jak pojemność zbiornika, maksymalna temperatura reaktora, maksymalny przepływ w rurociągu itd.
Proces chemiczny ogólnie przebiega z największą wydajnością wówczas, gdy wykorzystuje się jego możliwości do maksimum, przy określonych ograniczeniach fizycznych. Zadaniem regulatora jest utrzymywanie wartości zmiennych procesowych w zakresie wysokiej wydajności, bez zezwolenia na przekroczenie ich odpowiednich wartości granicznych. Dokładny model procesu pozwala regulatorowi na określenie z góry, dokąd zmierzają wartości zmiennych procesowych i podjęcie działań wyprzedzających, aby zapobiec zbliżającym się przekroczeniom ograniczeń. Bez zapobiegliwości oferowanej przez model procesu regulator musiałby utrzymywać wartości zmiennych procesowych w sporej odległości od ich wartości granicznych (czyli w zakresie mniejszej wydajności procesu), aby tylko utrzymać margines bezpieczeństwa.
Optymalizacja procesu działa w większości w ten sam sposób. Gdy różne elementy procesu konkurują ze sobą o dostęp do zasobów, takich jak energia elektryczna, para lub surowce, to model procesu ogólnego może zademonstrować wyniki ekonomiczne racjonowania zasobów w różnych kombinacjach. Regulator potrafi określić z góry, która strategia racjonowania jest najbardziej zyskowna, i zająć się jej wdrażaniem, bez konieczności marnowania czasu i zgadywania sposobu przydziału zasobów.
<—newpage—>*****
Modelowanie procesu
Do wyznaczania takiego modelu matematycznego, który najlepiej opisuje relację pomiędzy wejściem a wyjściem (I/O) procesu ? czyli do wykonywania zadania określanego mianem modelowania lub identyfikowania procesu ? dostępny jest szeroki zakres metod. Prawdopodobnie najczęściej stosowaną metodą jest skok jednostkowy, w którym gwałtownie zwiększa się wartość sygnału wejściowego, następnie utrzymuje ją na ustalonym poziomie i rejestruje sygnał wyjściowy.
Wykresy zmian tych pomierzonych wartości wyjściowych w czasie dają w wyniku linię trendu odpowiedzi skokowej procesu, która może zostać przeanalizowana w celu wyznaczenia odpowiedniej formy modelu procesu. Kształt odpowiedzi na skok jednostkowy jest charakterystyczny dla wszystkich modeli procesu, czego przykładem jest równanie 1 z operatorem różniczkowania (rys. 2).
Wartość współczynnika ?k? można odczytać z wykresu przez narysowanie stycznej do krzywej odpowiedzi w dowolnym wygodnym punkcie. Jeśli nachylenie tej stycznej wynosi A/B, a różnica temperatur palnika i kotła w tym przypadku wynosi C, to ?k? musi być wynikiem równania 2.
k = A/BC
Jeśli w rzeczywistości proces jest opisany równaniem 1, to wartość współczynnika ?k? obliczona z równania 2 będzie taka sama bez względu na to, jaki punkt wybrano do narysowania stycznej. Ale jeżeli z wybranych kilku punktów na wykresie wynikają znacznie różniące się wartości ?k?, to prawdopodobnie równanie 1 nie stanowi dobrego wyboru dla modelu procesu. Jest to jedna z metod walidacji, która może być użyta do sprawdzenia, czy proponowany model procesu dokładnie reprezentuje jego przebieg.
*****
Modele matematyczne ? pomoc w znajdowaniu wartości nadmiaru surowcowego i oszczędzaniu materiałów
Inżynierowie automatycy wykorzystują regulatory w układach ze sprzężeniami zwrotnymi
o niespotykanych dotąd możliwościach do lepszego sterowania procesami technologicznymi. Prostsze, starsze konstrukcje regulatorów są zastępowane nowymi, wykorzystującymi zaawansowane algorytmy matematyczne, do sterowania procesami wsadowymi dostaw materiałów dla produkcji.
Dokładniejsze dostawy materiałów są możliwe do osiągnięcia, gdy system sterowania kompensuje opóźnienia w sterowaniu oraz inne liczące się wielkości ? poprzez wysłanie instrukcji do systemu dostaw, aby zostały wstrzymane tuż przed osiągnięciem ilości docelowej. Zasadnicze pytanie brzmi: ?Jak wcześnie wysłać taką instrukcję??. Wartość ta jest czasami nazywana wartością działania z wyprzedzeniem (pre-act value) albo wartością nadmiaru surowcowego (spill value).
Najlepszym sposobem na kontrolowanie wartości nadmiaru surowcowego ? czyli ilości surowca dostarczanego na linię technologiczną po otrzymaniu instrukcji wstrzymania dostaw ? jest dobre zaprojektowanie systemu sterowania procesem technologicznym. Komponenty użyte do dostarczania surowca, w tym szczególnie czujniki pomiarowe wykorzystywane przy dostawach, muszą być stosowane prawidłowo. Niestety, decyzje związane z projektami podejmowane są często zanim zostanie zaangażowany dostawca automatyki sterującej procesem technologicznym lub zapadają z przyczyn innych niż tylko ulepszanie sterowania procesem.
Dokładność dostaw materiału na linię produkcyjną może być często ulepszona poprzez tzw. dozowanie kropelkowe (dribbling) lub spowalnianie dostaw materiału, gdy jego ilość zbliża się do wartości docelowej. Dozowanie kropelkowe kontroluje nadmiar surowcowy poprzez jego redukcję. Moment rozpoczęcia dozowania może być obliczony podobnie jak w przypadkach prognozowania przelewania, opisanych poniżej. Dozowanie kropelkowe wydłuża czasy realizacji procesów wsadowych, obniżając wydajność produkcji. Może niekorzystnie wpłynąć na dokładność mierników przepływu, tak więc najlepiej wykorzystywać je w przypadku ważenia surowców.
Gdy nadmiaru surowcowego nie można kontrolować, musi on być zarządzany. Jeśli natomiast da się go dokładnie przewidzieć, dokładność dostaw materiału może zostać zwiększona.
Eliminowanie anomalii danych
Efektywny model musi wykorzystywać jakąś metodę eliminowania anomalii z wykonywanych analiz.
Prostym podejściem do wyznaczania anomalii jest przeanalizowanie wszystkich wartości, które znacznie odbiegają od średniej z poprzedniego zbioru wartości ? stanowią więc anomalie. Powstaje oczywiste pytanie: ?Jakie odchylenie ma być traktowane jako znaczące??.
Odpowiedzią jest zdefiniowanie jako anomalie jakiejkolwiek dostawy wykraczającej poza specyfikację techniczną. Inny sposób stanowi zdefiniowanie wartości, które jako anomalie wypadają poza ustalony zakres lub zakres zdefiniowany jako zbiór wartości średnich ? albo też zakres, który definiuje anomalie, może być oparty raczej na zakresie zbioru niż na średniej.
Każde podejście do eliminowania anomalii to ulepszenie pojedynczych, prostszych podejść. Programista, programując konkretną aplikację, może wykorzystać dowolne rodzaje podejść ? lub też żadne z nich, zależnie od wymagań technicznych aplikacji. We wzorach i formułach matematycznych mogą być wykorzystywane wyznaczone doświadczalnie współczynniki.
Poleganie na własnościach statystycznych zbioru danych poprzednio pomierzonej wartości nadmiaru surowcowego sprzyja utworzeniu takiego modelu matematycznego, który będzie w większym stopniu nadawał się do ponownego wykorzystania.
Bardziej użyteczne podejście do obliczenia prognozowanej wartości nadmiaru surowcowego rozpoczyna się od zebrania zestawu danych dotyczących najnowszych pomierzonych wartości nadmiaru surowcowego ? zwykle jest to ok. 10 wartości. Po posortowaniu tych wartości w tym podejściu wyznaczany jest zakres wartości pomiędzy pierwszym a trzecim kwartylem, trzecia i ósma wartość w zbiorze 10 wartości. Wartości kwartyli są przesunięte przez ten zakres, aby wyznaczyć górne i dolne ograniczenie pewnego zakresu. Wartości spoza tego zakresu będą uważane za anomalie. Następnie oblicza się średnią ze wszystkich wartości pomiędzy tymi ograniczeniami, aby obliczyć nową prognozowaną wartość rozlewu.
Dla zbioru 10 wartości V1? V10, gdzie G jest współczynnikiem wzmocnienia ? mniejszym od 1, aby zawęzić zakres, oraz większym od 1, aby rozszerzyć zakres, granice ? dolną (FL) i górną (Fh) ? oblicza się ze wzorów:
FL = V3 ? [V8 ? V3] ? G
FH = V8 ? [V8 ? V3] ? G
Dostawy surowca, których wartość jest mniejsza niż wielokrotność prognozowanej wartości nadmiaru surowcowego, są ignorowane, ponieważ system dostaw nie osiąga stanu ustalonego przed jego wyłączeniem. Nie jest wykonywane żadne ponowne obliczenie wartości nadmiaru surowcowego. Dodatkowa logika w modelu obsługuje warunki graniczne, takie jak występujące w sytuacji, gdy jest tylko jedna wartość lub bardzo mało wartości w zbiorze danych.
Ważne jest, aby anomalie nie były odrzucane ze zbioru danych. ?Barierki? chronią je przed włączeniem do obliczeń prognozowanego nadmiaru surowcowego. Jeśli to, co prezentuje się początkowo jako anomalie, jest w rzeczywistości zmianą procesu, to następujące, podobne pomierzone wartości nadmiaru surowcowego otworzą zakres drugiego i trzeciego kwartyla i zaczną zawierać te nowe wartości w średniej. Prognozowana wartość nadmiaru surowcowego przesunie się w kierunku nowszych punktów, reagując na rzeczywistą zmianę procesu tak jak powinna. Wartości nadmiaru surowcowego są często obliczane dla jednej drogi dostaw; niektóre drogi dostarczają wielu surowców.
Case study: lepiej zarządzane dostawy surowców
Zastosowanie opisanych metod w systemie sterowania w pewnym zakładzie piekarniczym obejmowało tylko wymianę oprogramowania ? system sterowania i wszystkie czujniki pomiarowe pozostały te same. Aby osiągnąć dokładność dostaw surowców, stare oprogramowanie sterujące opierało się na dozowaniu kropelkowym i zbiorze prognozowanych wartości nadmiaru surowcowego. W zakładzie śledzono dokładność dostaw z wystarczającą precyzją, szczególnie w przypadku droższych składników.
Dokładniejsze dostawy materiałów zawsze oznaczają poprawę jakości produktów i oszczędności kosztów ich wytwarzania, ale tylko w niewielu stosowanych aplikacjach wiedziano, jak to wykorzystać. Unowocześnienie polegające jedynie na wymianie oprogramowania dało okazję do zmierzenia wyników tego modelu matematycznego w odizolowaniu. Poprzez wyeliminowanie dozowania kropelkowego ? co oznaczało skrócenie czasu ładowania wsadu ? piekarnia zwiększyła wydajność produkcji o 20%. Po kilku tygodniach działania nowego systemu dyrekcja zakładu oszacowała, że dokładniejsze zarządzanie dostawami materiałów na linię produkcyjną pozwoli zaoszczędzić na kosztach materiałowych 500 tys. dolarów rocznie ? na podstawie aktualnych dostaw pozostających w nadmiarze, ale bliższych minimalnym specyfikacjom. Koszty integracji systemów i nowego oprogramowania wyniosły ok. 100 tys. dolarów.
Timothy S. Matheny jest inżynierem, prezesem firmy ECS Solutions Inc., certyfikowanym członkiem Stowarzyszenia Integratorów Systemów Sterowania (Control Systems Integrators Association).
Philip W. Michel jest starszym inżynierem systemów firmy ECS Solutions oraz głównym deweloperem S88 Builder ? oprogramowania tej firmy, przeznaczonego do podstawowego sterowania procesem technologicznym na podstawie modelu matematycznego.
****
Autor: Vance VanDoren jest inżynierem, specjalistą ds. treści, współpracownikiem Control Enginering.
Tekst pochodzi z nr 4/2017 magazynu "Control Engineering". Jeśli Cię zainteresował, ZAREJESTRUJ SIĘ w naszym serwisie, a uzyskasz dostęp do darmowej prenumeraty w formie drukowanej i/lub elektronicznej.
