Zrozumienie złożoności procesów

Udoskonalenie projektu sprzężenia zwrotnego poprzez wykonanie przeglądu matematycznego modelu procesów pierwszego i drugiego rzędu
Ujmując rzecz matematycznie, rząd procesu ciągłego równa się rzędowi równania różniczkowego (liczbie operatorów różniczkowania) wymaganych do skonstruowania równania sterującego (transmitancji).
Posługując się terminami zrozumiałymi dla zwykłych ludzi, określa to, po prostu, jak bardzo dramatycznie może się zmienić zmienna procesowa, kiedy podejmuje się wysiłek związany ze sterowaniem procesem. Procesy wyższego rzędu wykazują bardziej skomplikowane zachowania i są proporcjonalnie trudniejsze w sterowaniu. 
Rozważmy na przykład dobrze izolowany kocioł do warzenia piwa, przedstawiony na rysunku 1. Regulowany palnik określa ilość ciepła, jakie podgrzewa piwo, a termopara mierzy rzeczywistą temperaturę. Tak jak to widać na rysunku 2., prędkość wzrostu temperatury piwa (T˙process) jest proporcjonalna do różnicy pomiędzy temperaturą palnika (Tcontrol), a temperaturą piwa (Tprocess). Im wyższa różnica, tym szybciej zmienia się temperatura piwa (inercja cieplna pierwszego rzędu).
Zależność pokazana na rysunku 2. to równanie opisujące proces warzenia piwa. Jest to zależność pierwszego rzędu, ponieważ zawiera tylko jedną operację rózniczkowania (pochodną pierwszego rzędu). Sam proces jest więc opisany, jako proces pierwszego rzędu.
Podobnie jak większość równań opisujących proces (transmitancja obiektu sterowania), można je rozwiązać dla zmiennej procesowej (Tprocess) poprzez wyeliminowanie różniczkowania (np. całkując obustronnie w przypadku równania o zmiennych rozdzielonych i podobnych operacji matematycznych). Na szczęście rezultat końcowy jest względnie prosty w przypadku zmiennej procesowej (Tcontrol), jak to pokazano na rysunku 3.
Początkowo temperatura piwa zaczyna gwałtownie wzrastać, ale kiedy piwo staje się coraz cieplejsze, temperatura zaczyna wzrastać coraz wolniej i wolniej, aż do osiągnięcia temperatury palnika. Temperatura piwa nie może przewyższyć temperatury palnika, w związku z tym zmienna procesowa nigdy nie może oscylować, chyba że sterowanie palnikiem zacznie oscylować.

Bardziej skomplikowany przykład
Na rysunku 4. pokazano proces mechaniczny, który jest w stanie oscylować sam z siebie. Na proces ten składa się ciężarek zawieszony na sprężynie. Pionowa pozycja ciężarka jest ustalana przez siłę grawitacji, siłę działania sprężyny oraz siłę tarcia (oporów środowiska) przeciwdziałającą ruchowi ciężarka w każdym kierunku.
Siła sprężyny jest proporcjonalna do pozycji ciężarka (Xprocess), siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości ciężarka (X˙process – prędkość to pierwsza pochodna pozycji w czasie), a siła grawitacji jest proporcjonalna do przyspieszenia ciężarka (X¨process – przyspieszenie to druga pochodna pozycji w czasie). Połączenie tego z przesunięciem dźwigni (Xcontrol) daje nam równanie różniczkowe pokazane na rysunku 5. Jest to zależność drugiego rzędu, ponieważ zawiera zarówno operator pojedynczego różniczkowania (pierwszą pochodną), jak i operator podwójnego różniczkowania (drugą pochodną).

 

Proces warzenia będzie reagował proporcjonalnym wzrostem zmiennej procesowej (Tprocess), kiedy

 

wymuszenie (Tcontrol) ulegnie gwałtownej zmianie od

 

zera, temperatura będzie spadać po tej samej krzywej (o takiej samej stałej czasowej) do zera

W przeciwieństwie do procesu pierwszego rzędu, w poprzednim przykładzie, ten proces drugiego rzędu będzie czasami oscylował, nawet jeśli sterowania nie będzie. W szczególności jeśli tarcie (opory środowiska) jest wystarczająco niskie, sprężyna wystarczająco sztywna, a ciężarek wystarczająco ciężki, proces nie będzie tłumiony, a drobne wytrącenie z równowagi sprawi, ze ciężarek będzie kołysał się tak, jak to pokazano na rysunku 6. W przeciwieństwie do tego niedotłumiony proces drugiego rzędu (przy umiarkowanym tłumieniu) będzie reagował oscylowaniem tak, jak to pokazano na rysunku 7.

Inne procesy
Zależności pokazane na rysunkach 3., 6., i 7. nie dotyczą tylko warzenia piwa i drgających sprężyn. Dotyczą wszystkich procesów pierwszego i drugiego rzędu – prawie wszystkiego, czym można sterować przy zastosowaniu tradycyjnej pętli regulacji PID (regulatora proporcjonalno całkująco-różniczkującego). Tylko wartości τ, ζ , i ωn ulegają zmianie wraz ze zmianą procesu. Wszystkie reakcje (odpowiedzi na wymuszenie jednostkowe) pierwszego rzędu wyglądają tak, jak to pokazano na rysunku 3., a wszystkie reakcje drugiego rzędu wyglądają tak, jak to pokazano na rysunku 6. lub 7. Zmienia się tylko skala.
W przypadku pierwszego rzędu stała czasowa określa czas odpowiedzi poprzez dokładne zdefiniowanie, kiedy zmienna procesowa osiągnie 63% swojej wartości końcowej (to znaczy, Tprocess = 0,63∆X kiedy t = τ, to tzw. stała czasowa przy inercji pierwszego rzędu). Im mniejsza wartość t, tym szybciej zostanie osiągnięty ten punkt 63% i na odwrót.
Podobnie wartości współczynnika tłumienia z oraz częstotliwość rezonansowa vn całkowicie określają czas trwania i amplitudęoscylacji. Tak jak to pokazano na rysunku 6., odwrotność ωn służy jako stała czasowa dla określania współczynnika tłumienia e-zvnt.
Produkt ωn √1-ζ2 (to jest avn) służy jako częstotliwość sinusoidalna sin(αωn t + ø).
Faza tej sinusoidy to f, a amplitudą jest 1/α, z których obie są określane wielkością ζ. 
Sterowanie ze z sprzężeniem zwrotnym
Zależności te są szczególnie wygodne do projektowania sterownika ze sprzężeniem zwrotnym. Pozwalają sterownikowi na przewidywanie odpowiedzi skokowej każdego procesu pierwszego rzędu o znanej stałej czasowej (time constant) oraz każdego procesu drugiego rzędu o znanym stosunku tłumienia (damping ratio) i naturalnej częstotliwości rezonansowej. Sterownik można następnie skonfigurować tak, aby wykonywał tylko właściwą sekwencję sygnałów sterujących, niezbędnych do odpowiedniego ustawiania stanu zmiennych procesowych w czasie, do osiągnięcia wymaganego punktu nastawy wzdłuż pożądanej trajektorii.
To, w jaki sposób wartości τ, ζ, i ωn mogą być przełożone na właściwe parametry sterownika, takie jak P, I oraz D, jest często kwestią o znacznej złożoności technicznej. Na szczęście istnieją wzory dla wielu najprostszych przypadków. Przykładem są słynne zasady Zieglera-Nicholsa dla procesów pierwszego rzędu, przytoczone np. w „Podstawach synchronizacji petli regulacji” (Loop Tuning Fundamentals) Control Engineering, lipiec 2003, dostępne pod adresem: www.controleng.com.
Określanie wartości τ, ζ, i ωn, które najlepiej odzwierciedlają rzeczywiste zachowanie procesów modelowanych w równaniu różniczkowym, również mogą stanowić wyzwanie. Analitycy i automatycy posługują się prawami chemii, fizyki, elektrotechniki oraz termodynamiki dla analitycznego wydedukowania tych wartości. Jest to podejście preferowane dla akademickich problemów związanych ze sterowaniem.
Z drugiej strony analizy empiryczne są zdecydowanie prostsze i bardziej praktyczne dla większości aplikacji przemysłowych. Operator może po prostu wymusić zmianę (wygenerować wymuszenie skokowe na wejściu) i porównać otrzymane wyniki do zbioru wykresów, takich jak te pokazane na rysunkach 6. i 7., na których naniesione są różne wartości ζ, i ωn. Wartości ζ, i ωn, które najlepiej odzwierciedlają zachowanie procesów, można odczytać z wykresu, który najbardziej przypomina odpowiedź układu na wymuszenie skokowe, odpowiedź odnotowaną przez operatora. Lub też, jeśli okazuje się, że proces zachowuje się bardziej w sposób przypominający układ pierwszego rzędu, zbiór odpowiedzi na wymuszenie skokowe pierwszego rzędu może stanowić punkt odniesienia dla wartości, które najlepiej odzwierciedlają wyniki doświadczalne.
Charakter zmienności
Może się również okazać, że reakcja na wymuszenie skokowe typowa dla układu pierwszego lub drugiego rzędu nie będzie zgodna z wynikami doświadczeń. Proces może mieć rząd większy niż dwa, szczególnie jeśli układ składa się z wielu elementów. Na przykład jeśli zawór sprężynujący jest używany do regulowania przepływu gazu do palnika kotła do warzenia piwa, połączony proces miałby równanie opisujące go (sterujące) trzeciego rzędu, ponieważ proces rzędu Y w połączeniu z procesem rzędu Z daje proces rzędu Y+Z. Na szczęście procesy wyższego rzędu można często dobrze modelować z zadowalającym przybliżeniem za pomocą równań różniczkowych pierwszego i drugiego rzędu. Bardziej typową odmianą podstawowych procesów pierwszego i drugiego rzędu jest czas opóźnienia (delay, deadtime). Czas opóźnienia to przerwa, jaka upływa pomiędzy zadziałaniem wymuszenia a jego pierwszym skutkiem, przejawiającym się wpływem na zmienną procesową. Zmienna procesowa pozostaje stała, aż do upłynięcia czasu opóźnienia. Opóźnienie powoduje przesunięcie po osi czasu odpowiedzi na wymuszenie skokowe, ale nie zmienia jej kształtu. Zwłoka często występuje w procesach związanych z przepływem płynów, gdzie pomiary są wykonywane w oddaleniu od punktu, w którym następuje sterowanie.
Związane z tym zjawisko – nazywane jest zwisem lub spadkiem – może również opóźnić wystąpienie reakcji skokowej, ale nie poprzez wstrzymanie stałej zmiennej procesowej. Zamiast tego zmienna procesowa zaczyna się zmniejszać wraz ze zwiększeniem wysiłku związanego ze sterowaniem. Następnie zmienia kierunek i zaczyna się zwiększać we właściwym kierunku. Zarówno procesy pierwszego jak i drugiego rzędu mogą wykazywać uchyby (odchylenia od zadanej, oczekiwanej wartości), co sprawia, że często w praktyce bardzo trudno steruje się nimi. Na szczęście ugięcie charakterystyk jest stosunkowo rzadkim zjawiskiem.
Równie trudne do sterowania są procesy, które wykazują ujemne wartości tłumienia; to znaczy ujemne wartości ζ lub τ. Zamiast zmniejszać się na przestrzeni czasu, współczynnik wykładniczy w równaniu ich reakcji na wymuszenie skokowe zwiększa się i zwiększa. Sterownik działajacy w pętli sprzężenia zwrotnego może być zaprojektowany w taki sposób, żeby aktywnie kompensować takie niestabilne zachowanie, ale nawet najmniejszy błąd w doborze charakterystyki sterowania może mieć fatalne konsekwencje (niestabilność układu regulacji, wzbudzanie, rezonans itp.).
Istnieją wreszcie procesy pierwszego i drugiego rzędu, które są z natury nieliniowe, a ich charakterystyczne wartości dla parametrów τ, ζ, i ωn różnią się na przestrzeni czasu. Jeśli zmiany te są wystarczająco wolne, a wartości τ, ζ, i ωn można przewidzieć automatycznie, gdy sterownik działa, można tak zaprojektować sterownik, aby wykonywał kompensację poprzez ciągłe zmienianie swojej strategii sterowania w ruchu. Więcej informacji na temat takich sterowników adaptacyjnych znaleźć można w artykule w formie elektronicznej „Techniki sterowania adaptacyjnego”, który jest dostępny w sieci na stronie Control Engineering pod adresem: www.controleng.com/process.